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打印质数的各种算法

打印质数的算法应该是学习计算机编程的一个经典的问题，在这里想给大家展示一些方法，相信这些方法会对你的编程有一定的启发作用。请你注意几点，

  • 实际应用和教学应用有很大的差别。
  • 最后的那个使用编译时而不是运行时的方法大家可以重点看看。

教科书的示例

首先，先给一个教科书的示例。下面这个示例应该是教科书（至少是我上大学时的教科学）中算法复杂度最好的例子了。其想法很简单，先写一个判断是否是质数的函数isPrime()，然后从1到n分别调用isPrime()函数来检查。检查是否是质数的算法是核心，其简单的使用从2到n的开根的数作为除数。这样的算法复杂度几乎是O(n*log(n))，看上去不错，但其实很不经济。

#include <iostream>
using namespace std;

bool isPrime(int nr)
{
    for (int d = 2; (d * d) < (nr + 1); ++d){
        if (!(nr % d)){
            return false;
        }
     }
    return true;
}

int main (int argc, char * const argv[])
{
    for (int i = 0; i < 50; ++i){
        if (isPrime(i)){
            cout << i << endl;
        }
    }
}

较好的算法

我们知道，我们的算法如果写成线性算法，也就是O(n)，已经算是不错了，但是最好的是O(Log(n))的算法，这是一个对数级的算法，著名的二分取中（Binary Search）正是O(Log(n))的算法。通常来说，O(Log(n))的算法都是以排除法做为手段的。所以，找质数的算法完全可以采用排除法的方式。如下所示，这种算法的复杂度是O**(n(log(logn)))。

示例：打印30以内的质数

一、初始化如下列表。

 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

二、把第一个数（2）取出来，去掉所有可以被2整除的数。

 2  3     5     7     9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29

三、取第二个数（3），去掉所有可以被 3整除的数。

 2  3     5     7          11    13          17    19          23    25          29

四、取第三个数（5），因为4已经被去除了，再去掉所有可以被5整除的数。

 2  3     5     7          11    13          17    19          23                29

接下来的数是7，但是7的平方是49，其大于了30，所以我们可以停止计算了。剩下的数就是所有的质数了。

实际应用的算法

实际应用中，我们通常不会使用上述的两种算法，因为那是理论学院派的算法。实际中的算法是，我把质数事先就计算好，放在一个文件中，然后在程序启动时（注意是在启动时读这个文件，而不是运行时每调用一次就读一次文件），读取这个文件，然后打印出来就可以了。如果需要查找的化，二分查找或是hash表查找将会获得巨大的性能提升。当然，这样的方法对于空间来说比前面两个都要消耗得大，但是你可以有O(log(n))或是O(1)的时间复杂度。

所以，我想在这里提醒大家——实际和理论的的方法很不一样的，千万不要读书读成书呆子。在游戏编程的世界里，大量的数据都不是运行计算的，而都是写在文件中的。比如，一个火焰效果，一个人物跑动的动作，都是事先写在文件中的。

使用编译时而不是运行时

下面这个例子（本例参考于这里）你需要注意了，这是一个高级用法，使用模式来在编译时计算质数，而不是运行时。这种技术使用了C++编译器对模板的特化时的处理来生成自己相要的结果。这种方法在技术上是相当Cool的，但并不一定实用，这里只是想像大家展示这种用法。这是C++的最骨灰级的用法了。

请看下面的两个模板类，第一个模板以递归的方式检查是否是质数，第二个方法是递归的退出条件（当N=1时），对于模板的重载，请参看相关的C++书籍。

template<int N, int D = N - 1>
struct isPrime {
    enum {
        result = (N % D) && isPrime<N, D-1>::result
    };
};

template<int N>
struct isPrime<N, 1> {
    enum {
        result = true
    };
};

于是，通过这个模板，我们可以使用下面的代码来检查是否是质数：

if (isPrime<3>::result)
    cout << "Guess what: 3 is a prime!";

下一步，我们需要打出一个区间内的质数，所以，我们需要继续设计我们的print模板。

template<int N, bool ISPRIME>
struct printIfPrime {
    static inline void print() {}
};

template <int N>
struct printIfPrime<N, true> {
    static inline void print() {
        std::cout << N << endl;
    }
};

从上面的代码中，我们可以看到，我们的第一个实际是什么也没做，而第二个有输出，注意第二个的模板参数中有一个true，其意味着那个质数的判断。于是我们就可以给出下面的代码来尝试着打印出一段区间内的质数：（请不要编译！！因为那会让编译器进入无限循环中，原因是printPrimes会不停地调用自己永不停止）

template<int N, int MAX>
struct printPrimes {
    static inline void print()
    {
        printIfPrime<N, isPrime<N>::result>::print();
        printPrimes<N + 1, MAX>::print();
    }
};

为了避免这个问题，你需要再加一个模板类，如下所示。这样当N变成MAX的时候，递归就结束了。

template<int N>
struct printPrimes<N, N> {
    static inline void print() {
        printIfPrime<N, isPrime<N>::result>::print();
    }
};

最后，让我们来看看最终的调用：

int main (int argc, char * const argv[])
{
    printPrimes<2, 40>::print();
    return 0;
}

这个方法很NB，但是有两个问题：

  • 比较耗编译时间。
  • 不能在运行时输入MAX的值。

不过，相信这种玩法会启动你很多的编程思路。

当然，还有以前说过的那个——《检查素数的正则表达式》

（全文完）

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